# ... his more general definitions of "normal derivatives", "mass elements" and "potentials"

The intention of the section is to motivate an alternative mathematical framework, which does not require “ideal” boundary layer assumptions. The mathematical requirements to define boundary layers and corresponding potentials are very much depending from the definition and regularity requirements of the normal derivative. It is perpendicular to the boundary itself and therefore requires regularity assumptions, affecting "points" outside of the domain w/o any physical meaning.

There is a similar challenge related to Einstein's field equations, when trying to describe a ground state energy in a vacuum: tensor analysis, manifolds and the affine connexion concept require differentiable manifolds, while for the physical model it would be sufficient to require continuous manifolds only.

With respect to the "mass element" and the "potential" topic in combination with the "author's paper" --> "a new ground state energy model", we trust to make the following statement:

"Plemelj's mathematical concept of a "mass element", its corresponding  "potential" and alternative energy norm definition of a "mass element" in combination with the concept of Pseudo-differential operators (e.g. rotation invariant) Hilbert/Riesz (singular integral) operators and related Hilbert scale definitions) provides the mathematical missing piece to enable H. Weyl's vision of a "truly infinitesimal geometry" to overcome the incompliancies and inconsistencies of the today's paradox of the kinetic-particle and dynamical-field models. "

We note that every Hilbert space is a Banach space, and every Banach space is a metric space; in general the other way around is not true; only a Hilbert space has an inner product. The Riemann manifold is only a (Pythagorean sort of) metric space. The concept of manifolds requires the concept of exterior derivatives.

For an overview of history of current particle-field dualism with respect to philosophical and physics aspects we refer to the great work of H. Weyl:

1. H. Weyl, " philosophy of mathematics and natural science", Princeton University Press, 2009

2. H. Weyl, "The continuum, a critical examination of the foundation of analysis", Dover Publications, Inc., New York, 1987.

3. Weyl H., „Was ist Materie“, Berlin, Verlag von Julius Springer, 1924

We quote from 3. Weyl H.:

Kap.III Die Feldtheorie, (14): “… Die Definition des Feldes mit Hilfe seiner ponderomotorischen Wirkung auf einen Probekörper ist nur ein Provisorium. Durch das Hereinbringen des geladenen Probekörpers stört man immer in etwa das Feld, das es eigentlich zu beobachten galt; befindet er sich einmal im Felde, so gehört er so gut wie die übrigen Konduktoren mit zu den das Feld erzeugenden Ladungen …..“

J. Plemelj

J. Plemelj, "Potentialtheoretische Untersuchungen", B. G. Teubner, Leipzig (1911); pdf files of the book has been attached below;

quote, page VII: „hierbei war es vor allem nötig, die klassische Form des Potentiales V, ....., in der allgemeineren Gestalt des Stieltjesschen Integrals vorauszusetzen, wobei dm(s) das Element der Masse in einem infinitesimalen Stücke der Berandung im Punkt s vorstellt. Diese allgemeine Form geht in die klassische erst dann über, wenn die Massenverteilung in der Berandung differenzierbar ist. .....während früher jedes Potential V(p) normale Ableitungen besass, also solche selbst durchaus stetige Potentiale, die keine bestimmte normale Ableitung besitzen, von vornherein als durch ein V(p) nicht darstellbar erkannt werden könnten, ist es in der neuen Gestalt von einer ähnlichen Allgemeinheit, wie das Potential der Doppelschicht.   ....Die Tendenz, der unbequemen Ableitungen am Rande aus dem Weg zu gehen, .... veranlasste mich zur Einführung des oben erwähnten Strömungsbegriffes ....Die grosse Verallgemeinerung gibt sich wieder dadurch kund, dass die Strömung beim Potential W praktisch wenig einschränkenden Bedingungen stetig verläuft, wobei von der Existenz der normalen Ableitungen noch keine Rede sein kann.

quote, §8, "Bisher war es üblich, für das Potential die Form (  ) zu nehmen. Eine solche Annahme erweist sich aber als eine derart folgenschwere Einschränkung, dass dadurch dem Potential der grösste Teil seiner Leistungsfähigkeit hinweg genommen wird. Für tiefergehende Untersuchungen erweist sich das Potential nur in der Form (  ) verwendbar

("up to now it was usual to take for the potential the form (..). This assumption manifeste as such a weighty Restriktion, that in doing so the biggest piece of the capability of the potential is withdrawn. For in greater depth investigatives only the potential in the form (..) is appropriable.")

Related papers

E.Schroedinger, Statistical Thermodynamics, Cambridge University Press, 1989

R. P. Feynman, A. R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals, Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 2010, pp. 240, 244, 268, 294.

L. B. Rall, On complementary variational principles, J. Math. Anal. Appl. 14 (1966) 174-184

A. M. Arthurs, Complementary variational principles, Oxford, 1970,

chapter 4 attached:

P. D. Robinson, Complementary variational principles, In Rall L. B., (Ed.), Nonlinear functional analysis and applications, New York, London, San Francisco, 507-576

W. Velte, Direkte Methoden der Variationsrechnung, Teubner Studienbücher, B. G. Teubner, Stuttgart, 1976, attached chapter 6.2.4

Herrera I., Bielak J., Dual variational principles for diffusion equations,

http://mmc.geofisica.unam.mx/iherrera/Articulos/045.pdf

The book of J. Plemelj

Related references about electrostatic operator and double layer potentials

Josip Plemelj (1873-1967)